O Introducere În Geometria Mecanismelor

În această lucrare discutăm teorema de universalitate a lui Kempe legată de posibilele configuraţii ale unui mecanism plan. CONTENTS Introducere 1 1. Mecanisme plane 1 2. Puţină geometrie semi-algebrică 5 3. Reprezentarea aplicaţiilor polinomiale cu ajutorul mecanismelor 9 4. Demonstraţia teoremei de reprezentabilitate 12 References 16 INTRODUCERE Un mecanism plan este un sistem de bare rigide ı̂mbinate la capete. Barele se pot roti ı̂n jurul capetelor, dar unele din capetele lor pot avea o pozitie fixă ı̂n plan. Spre deosebire de situatia reală, permitem barelor să se intersecteze şi ı̂n interiorul lor. Să ne imaginăm că intr-unul din capetele barelor fixăm un stilou perpendicular pe plan după care deformăm mecanismul ı̂n toate modurile posibile. Stiloul va trasa o regiune ı̂n plan. În aceasta lucrare dorim să investigăm problema inversă: dată fiind o regiune ı̂n plan, dorim să construim un mecanism plan astfel ı̂ncât unul din vârfurile sale să traseze regiunea dată. Surprinzator, acest lucru este posibil pentru foarte multe regiuni, iar teorema de universalitate a lui Kempe descrie explicit care sunt aceste regiuni. Ele sunt regiunile semialgebrice, adică submulţimile din plan care pot fi descrise ı̂ntr-un număr finit de paşi folosind egalitaţi şi inegalitaţi polinomiale. Iată pe scurt organizarea lucrării. În secţiunea 1 definim riguros noţiunea de mecanism plan şi analizăm câteva exemple fundamentale pentru a ı̂nţelege subtilităţile problemei. Secţiunea 2 este ceva mai abstractă. Introducem puţin din limbajul geometriei algebrice reale şi dăm o formulare riguroasă a teoremei de universalitate. Deşi rezultatele menţionate ı̂n această secţiune nu sunt necesare ı̂nţelegerii ideilor de bază din demonstraţia teoremei de universalitate, am considerat că este foarte util să expunem cititorul unui mod de gândire modern. În secţiunea 3 formulăm o teorema de reprezentabilitate şi arătăm că implică teorema de universalitate. În secţiunea 4 demonstrăm teorema de reprezentabilitate. Surprinzător, demonstraţia foloseşte numai nişte idei elementare de geometrie euclidiană plană, teoria mulţimilor şi algebra numerelor complexe. 1. MECANISME PLANE Un graf metric este o pereche M = (G, `) unde G este un graf finit (fără muchii multiple şi fără muchii care pornesc şi se ı̂ncheie ı̂n acelaşi vârf), iar ` este o funcţie de la mulţimea E de muchii a lui G la mulţimea numerelor reale positive, ` : E → (0,∞). Functia ` se numeşte funcţia lungime sau metrica. Vom nota cu V = VG mulţimea de vârfuri. Date: Pentru Gazeta Matematica. Inceputa pe 18 Ianuarie 2009. Terminata pe 26 Ianurie 2009. 1 2 LIVIU I. NICOLAESCU Deorece o muchie este unic determinată de captele sale, vom identifica E cu o submulţime simetrică a lui V × V , i.e., (v0, v1) ∈ E⇐⇒(v1, v0) ∈ E. În cele ce urmează vom identifica planul euclidian cu planul compex C. O realizare geometrică a unui graf metric M = (G, `) este o funcţie ζ : V → C astfel ı̂ncât |ζ(u)− ζ(v)| = `(u, v), ∀(u, v) ∈ E. Un mecanism plan (abstract) este un quadruplu M = (G, `, Vf , φ) unde • (G, `) este un graf metric, • Vf este o submulţime a lui VG, • φ : Vf → C este o funcţie cu proprietatea că pentru orice pereche de puncte u, v ∈ Vf unite printr-o muchie din E are loc egalitatea |φ(u) − φ(v)| = `(u, v). Submulţimea Vf se numeşte submulţimea punctelor fixe a mecanismului. O realizare geometrică sau configuraţie a unui mecanism plan M := (G, `, Vf , φ) este o realizare geometrică ζ : V → C a lui (G, `) astfel ı̂ncât ζ|Vf = φ. Notăm cu C(M) mulţimea tuturor configuraţiilor posibile ale mecanismului M. Mulţimea C(M) se mai numeşte şi spaţiul de moduli al mecanismului M, Putem gândi o configuraţie ca o mulţime de puncte din plan (corespunzătoare vârfurilor V ) unite prin bare liniare rigide (corespunzătoare muchiilor E) şi de lungime prescrise de metrica `. Aceste puncte se mai numesc şi ı̂ncheieturile mecanismului. Barele se mai numesc şi braţele mecanismului. Ele se pot roti ı̂n jurul ı̂ncheieturilor. Vârfurile din Vf se numesc ı̂ncheieturile fixe ale mecanismului, iar ı̂ncheieturile din V \ Vf se numesc ı̂ncheieturile libere sau mobile. Punctele fixe sunt ı̂nţepenite ı̂n poziţiile lor iniţiale descrise de funcţia φ, dar punctele mobile se pot mişca ı̂n plan. Barele se pot intersecta şi ı̂n interior. Când reprezentăm grafic o configuraţie a unui mecanism folosim simbolul ◦ pentru a indica un vârf mobil şi simbolul • pentru a indica un vârf fix. Exemplul 1.1 (Braţ de robot). Să considerăm mecanismul din Figura 1.1 care constă din trei vârfuri a, b, c şi trei muchii (a, b) şi (b, c). Vârful a este fix.